11 de março de 2008

Radiciação - Square root

Durante meus estudos atuais me deparei com uma questão. Percebi que durante a minha formação, nenhum de meus professores de matemática, sejam de ensino fundamental ou de ensino médio, me ensinou a fazer raiz quadrada de números que resultassem num numero fracionado. Ou seja, eu não sabia fazer a raiz quadrada de 5 por exemplo.

E não adianta falarem: “O número 5 não tem raiz”. Pois se a calculadora é capaz de dar um resultado a esta questão significa que há, sem duvida, uma lógica por traz deste cálculo. Mas qual seria?

Encontrei um método, intitulado como método chinês por alguns autores, no qual é possível resolver, por exemplo, a raiz quadrada de 2025(raiz = 45) sem auxilio de calculadora. E com algumas adaptações que fiz, diante do encontrado, é possível se obter quantas casas decimais se queira no resultado.

Ao final disto temos um algoritmo que pode ser facilmente implementado. Siga os passos abaixo e veja com é fácil efetuar a raiz de 1031.

1 – Primeiramente definimos quantas casas decimais queremos depois da vírgula. Para o nosso exemplo utilizarei 3 casas decimais. Neste caso acrescentamos ao numero 1031 pares de zeros (00) tantas vezes quanto forem as casas decimais desejadas, ou seja, o numero ficara assim: 1031000000.

2 – Separamos este numero em pares de algarismos começando da direita e indo para a esquerda: Ex.: 10.31.00.00.00

3 – Separamos o primeiro par e fazemos a diferença deste em relação ao primeiro numero impar: 10 -1 = 9.

Em seguida, subtraímos o resultado pelo próximo numero impar: 9 -3: 6.

E assim sucessivamente até que o resultado seja o menor número positivo.

10

31

00

00

00

-1

9

-3

6

-5

1

4 – A quantidade de números impares será o primeiro numero da raiz.

10

31

00

00

00

3 numeros

1

-1

9

2

-3

6

3

-5

1

5 – Acrescentamos ao resto, o próximo par de algarismos.

10

31

00

00

00

3 numeros

1

-1

9

2

-3

6

3

-5

1

31

6 – Pegaremos o numero da raiz (3), já encontra até o momento, multiplicá-lo-emos por 20 e adicionaremos 1: X*20+1 => 3*20+1 => 61.

10

31

00

00

00

3

1

-1

9

2

-3

6

3

-5

1

31

61

=3*20+1

7 – Este número (61) será o primeiro impar a ser subtraído do resto 131. Faça isso e sucessivamente as subtrações dos próximos números ímpares.

10

31

00

00

00

3

-1

9

-3

6

-5

1

31

61

=3*20+1

-61

70

-63

7

8 – A quantidade de números ímpares será o próximo numero da raiz.

10

31

00

00

00

32

-1

9

-3

6

-5

1

31

61

=3*20+1

1

-61

70

2

-63

7

9 – Repita os procedimento 5 e 6.

X*20+1 => 32*20+1 => 641.

E em seguida o procedimento 7 com o número 641.

10

31

00

00

00

32

-1

9

-3

6

-5

3

1

31

61

=3*20+1

-61

70

-63

32

7

00

641

=32*20+1

1

-6

41

59

10 – Novamente efetuamos os passos 8 e 9.

32 + 1 número impar = 321.

X*20+1 => 321*20+1 => 6421

Neste posto chegamos a uma particularidade: o numero 59 acrescido do próximo par 00 = 5900 é menor que o numero 6421, portanto não pode ser subtraído.

Faz-se o seguinte: acrescenta-se “0” à raiz: 321+acréscimo de 0: 3210. E descemos o próximo par de números, ficando assim: 590000.

10

31

00

00

00

3210

-1

9

-3

6

-5

3

1

31

61

=3*20+1

-61

70

-63

32

7

00

641

=32*20+1

-6

41

321

59

00

6421

=321*20+1

6421>5900

3210

59

00

00

64201

=3210*20+1

1

-6

42

01

52

57

99

2

-6

42

03

46

15

96

3

-6

42

05

39

73

91

4

-6

42

07

33

31

84

5

-6

42

09

26

89

75

6

-6

42

11

20

47

64

7

-6

42

13

14

05

51

8

-6

42

15

7

63

36

9

-6

42

17

1

21

19

11 – Nove subtrações fazem com que acrescentemos o numero nome a raiz 3210. Sendo assim, 32109 é nossa raiz final. Porém ao começo deste processo acrescentamos três pares de “00” porque queríamos achar 3 casas decimais após a virgula. Isso significa que agora teremos que dividir este resultado (32109) por (10 elevado ao numero de pares que acrescentamos). 32109/1000 = 32,109.

Resposta: A raiz quadrada de 1031 é igual a 32,109.

Uma boa tarde a todos!

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